傅里叶级数

Fourier Series

本质上是函数空间中以三角函数系为基底，来表达函数。将周期函数分解为一系列简单正弦和余弦函数（或复指数函数）之和的数学方法，揭示了周期信号的频率成分

设 $f_{T} (t)$ 是以 $T$ 为周期的实值函数，且在 $[- \frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$ 上满足狄利克雷条件:

对于满足狄利克雷条件的周期函数 $f_{T} (t)$ ，其傅里叶级数展开式为：

\begin{array}{r} f_{T} (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n ω_{0} t + b_{n} \sin n ω_{0} t) \end{array}

\begin{aligned} ω_{0} & = \frac{2 π}{T} \\ a_{n} & = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) \cos n ω_{0} t d t \\ b_{n} & = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) \sin n ω_{0} t d t \end{aligned}

利用欧拉公式 $e^{j x} = \cos x + j \sin x$ ，傅里叶级数可以表示为更简洁的复数形式：

\begin{array}{r} f_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n ω_{0} t} \end{array}

其中 $c_{n}$ 是复傅里叶系数，计算公式为：

\begin{array}{r} c_{n} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) e^{- j n ω_{0} t} d t (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \end{array}

由傅里叶级数的三角形式和欧拉公式知：

\begin{aligned} \cos (n ω_{0} t) = \frac{1}{2} (e^{j n ω_{0} t} + e^{- j n ω_{0} t}) \\ \sin (n ω_{0} t) = \frac{1}{2 i} (e^{j n ω_{0} t} - e^{- j n ω_{0} t}) \end{aligned}

\begin{array}{r} f_{T} (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_{n} - j b_{n}}{2} e^{j n ω_{0} t} + \frac{a_{n} + j b_{n}}{2} e^{- j n ω_{0} t}) \end{array}

复傅里叶系数与三角形式系数的关系如下：

c_{0} = \frac{a_{0}}{2}, c_{n} = \frac{a_{n} - j b_{n}}{2}, c_{- n} = \frac{a_{n} + j b_{n}}{2}

在三角形式中，令：

A_{0} = \frac{a_{0}}{2}, A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}, \cos θ_{n} = \frac{a_{n}}{A_{n}}, \sin θ_{n} = - \frac{b_{n}}{A_{n}}

\begin{aligned} f_{T} (t) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n ω_{0} t + b_{n} \sin n ω_{0} t) \\ = A_{0} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} A_{n} (\cos θ_{n} \cos n ω_{0} t - \sin θ_{n} \sin n ω_{0} t) \\ = A_{0} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) \end{aligned}

傅里叶级数展开说明：周期为 $T$ 的函数 $f_{T} (t)$ 仅包含离散的频率成分
如果 $f_{T} (t)$ 为信号，那么一个周期为 $T$ 的信号可以被分解为一系列以 $ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ 为间隔的离散频率的简谐波之和。

当 $T$ 越来越大，取值间隔 $ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ 越来越小, $T \to \infty$ 时，周期函数变为非周期函数，离散的频率成分变得无限密集，将离散的求和变为连续函数的积分，引出傅里叶积分